கணித அழகு

  1. கணிதம் என்பது எண்கள் என்ற பார்வை தவறானது. கணிதம் என்பது கோலம் போன்றது,  அழகானது. அழகற்ற  கோலம் எப்படி கோலம் ஆகாதோ, அதுபோல அழகற்ற கணிதமும் கணிதம் ஆகாது.  கோலங்கள் (patterns) நமது கற்பனையில் உருவாவது,   எண்ணிக்கையில் அளவில்லாதது.  கணிதமும் அதுபோன்றதுதான். புதிய புதிய கணிதங்களைப் போட்டுக்கொண்டே போகலாம், எல்லை இல்லாதது.  [1]

The mathematician’s patterns, like the painter’s or the poet’s must be beautiful; the ideas,  like the colours or the words, must fit together in a harmonious way. Beauty is the first test: there is no permanent place in the world for ugly mathematics… it may be very hard to define mathematical beauty, but that is just as true of beauty of any kind — We may not know quite what we mean by a beautiful poem, but that does not prevent us from recognizing one when we read it. –  G.H. Hardy

  1. அறிவியல் என்பது இவ்வுலகைப் பற்றியது. கணிதம் என்பது நமது கற்பனைக்கு எட்டிய அனைத்து உலகங்களைப் பற்றியது.  அறிவியலுக்கே அடிப்படையானது கணிதம். [2]
  1. இவ்வுலகில் நாம் காணும் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான பாதை, ஒரு கற்பனை உலகின் வழியாக செல்கிறது. அந்த கற்பனை உலகு பெரும்பாலும் கணிதத்தினால் கட்டப்பட்டிருக்கிறது. உதாரணமாக கற்பனை எண்ணை ( i – imaginary number) எடுத்துக்கொள்வோம். முதலில் கணித அறிஞர்கள்,  இந்த எண் உண்மையாக ஒரு எண்ணில்லை என்று நிராகரித்ததினால் தான் இதற்கு “கற்பனை எண்” என்று பெயர் சூட்டப்பட்டது. இப்பொழுது  இந்த எண் இல்லாமல் நவீன அறிவியலே சாத்தியமில்லை என்ற நிலையில் இருக்கிறது. [1]
  1. மனித முன்னேற்றத்திற்கு மாபெரும் தடைக்கற்களாக இதுவரை இருந்திருப்பது நம் கண்ணால் காண முடியாத கணித கருத்துக்களே என்கிறார் கணிதமேதை வைட்கெட்டு (Alfred North Whitehead). உதாரணமாக XY-அச்சை எடுத்துக்கொள்வோம். இதை தேக்கார்டு அவர்கள் 17-ஆம் நூற்றாண்டில் கண்டுபிடித்தார். அதுவரை வடிவியலும் (Geometry) அல்சீப்ராவும் (Algebra) தனித்தனிப் பிரிவுகளாக எந்த தொடர்பில்லாமல் இருந்தன. அவரின் கண்டுபிடிப்புக்குப் பின்தான் ஒரு வட்டத்தை X^2 + Y^2 = a^2 என்று அல்சீப்ரா கொண்டு  எழுத முடியும் என்று கண்டுபிடிக்கப்பட்ட்டது. பின் இதை வைத்து நியூட்டனும் லைபினிசும் நுண் கணிதத்தை கண்டுபிடித்தனர். பின் அதை வைத்து நியூட்டன் தனது விதிகளை கண்டுபிடிக்கிறார்.  நியூட்டனின் விதிகள் இல்லாமல் நவீன உலகு இல்லை என்கிற பொழுது,  XY-அச்சு இல்லாமல் நவீன உலகு இல்லை என்றும் கூறலாம். இதைப்போலவே தசம எண்கள், பூச்சியம், அல்சீப்ரா ஆகியன மாபெரும் கணித கண்டுபிடிப்புகள். அவை இல்லாமல் மனித முன்னேற்றம் சாத்தியமில்லை. உலகில் இருப்பதை கண்டுபிடித்துவிடலாம், இல்லாததை கற்பனையில்தான் கண்டு பிடிக்க முடியும். அந்த கற்பனை கண்டுபிடிப்புகள் இல்லாமல் முன்னேற்றம் இல்லை என்றால் நாம் எப்படியான ஒரு புதிரான உலகில் வாழ்கிறோம் என்பதனை புரிந்து கொள்ளலாம். கலிலியோ அவர்கள் “இயற்கையின் தத்துவங்கள் கணித மொழியில் எழுதப்பட்டுள்ளது” என்றார்.  நவீன அறிவியல் என்பது கணிதம் உருவாக்கிய  விளைச்சல்.[3]
  1. அறிவியலாளர்கள் தங்களது கண்டுபிடிப்பு சரியா என்பதை அவர்கள் கண்டுபிடித்த சமன்பாட்டின் அழகை வைத்து பெரும்பாலும்  தீர்மானிக்கின்றனர்.  அவர்கள் வரைந்த  கணிதக் கோலம் அழகாக இருந்தால், அது உண்மையாக இருக்கும் என்பது நம்பிக்கை. இந்த நம்பிக்கை அன்றிலிருந்து இன்றுவரை  நல்ல வழிகாட்டியாக இருந்திருக்கிறது. ஒருமுறை ஐன்ஸ்டீனின் கண்டுபிடிப்புகள் தவறு என நிறுவுவதற்கு ஏற்றவாறு சில சோதனை முடிவுகள் வந்தன. அதற்கு அவர்  “சமன்பாடுகள் அழகானவை, அவை உண்மையாகவே இருக்கும்” என்றார். முடிவில் சோதனைகள்தான் தவறு என்று ஆனது.  இன்னொரு உதாரணமாக, முரே கெல்மான் இயற்பியலில் ஒரு அழகான சமன்பாடை கண்டறிகிறார். ஆனால் அச்சமன்பாட்டுக்கு எதிராக ஏழு சோதனைகள் முடிவுகளைத் தருகின்றன. இருந்தாலும் தனது கண்டுபிடிப்பை பிரசுரிக்கிறார். முடிவில் அந்த ஏழு சோதனைகளும் தவறு என்று நிரூபணமாகிறது. அழகு எப்பொழுதும் அறிவியலில் வெல்லும் என்கிறார் கெல்மான். உண்மை என்பது அழகானது  என்றார் ஈராயிரம் ஆண்டுகளுக்கு முன்வாழ்ந்த பிளாட்டோ.  அந்த அழகைத் தெளிவாகக் காட்டுவது கணிதம். ஒரு அறிவியல் சமன்பாட்டின்  அழகு என்பது சமச்சீர்மை (symmetry), சுருக்கம் (simplicity),  ஒத்திசைவு (unification) என்ற மூன்று பண்புகளால் ஆனது.  [4]
  1. விண்ணில் உலவும் கோள்களின் நிறையும் (mass), சூரியன் எப்பொழுது தோன்றியது, எப்பொழுது அழியும், இப்பிரபஞ்சம் என்று தோன்றியது எப்படி தோன்றியது போன்றவற்றிற்கும் விடை கண்டுபிடித்தாயிற்று. இந்த பிரபஞ்சத்தில் எத்தனை அணுக்கள் உள்ளன என்பதனையும் எண்ணியாயிற்று. இவை அனைத்தையும் நாம் இந்த பூமியில் உட்கார்ந்து கொண்டு எவ்வாறு கணக்கிட முடிந்தது? இதற்கு காரணம் நாம் வாழும் பிரபஞ்சத்தின் தன்மை அப்படி. நமது பிரபஞ்சத்தின் தோற்றத்திலிருந்து இன்றுவரை நடைபெறும் பரிணாம மாற்றம் வரை அனைத்தும் ஏரணப்படி (logic) அடுக்கடுக்காக அழகான கணிதத்தின் மூலம் கட்டியமைக்கப்பட்டுள்ளது .  நாம் ஒரு கணித பிரபஞ்சத்தில் வாழ்கிறோம் என்கிறார் இயற்பியலாளர் மேக்சு டெக்மார்க்கு. இதனால்தான் நாம் இங்கு உட்கார்ந்துகொண்டு சோதனைகள் செய்து கணிதத்தைக் கொண்டு அனைத்தையும் அறிய முடிகிறது.[5]
  1. நாம் இந்த பிரபஞ்சத்தைப் பற்றி இவ்வளவு அறிந்திருக்கிறோம், ஆனால் நம்மால் இன்று மனிதகுலம் எதிர்நோக்கும் அணு ஆயுதங்கள், புவி சூடேற்றம், இனவழிப்பு போன்ற சிக்கல்களை ஏன் தீர்க்க முடியவில்லை என்ற கேள்வி எழுகிறது. நாம் இயற்பியல் விதிகளை அறிந்திருப்பதுபோல் சமூக இயக்கத்தை நம்மால் புரிந்துகொள்ள முடியவில்லை. இதற்கு அடிப்படை காரணம் சமூகத்தின் சிக்கலான அமைப்பு. இந்த பிரபஞ்சத்தில் முதலில் தோன்றியது இயற்பியல் விதிகள், அதிலிருந்து வேதியல், பின் உயிரியல், அதன்பின் பலவேறு உயிரினங்கள், முடிவில் மனிதன்,  மனித சமூகம் என்று வந்து நிற்கிறோம்.  ஒவ்வொரு அடுக்கும் சிக்கலைக் கூட்டுகிறது.  இயற்பியல் விதிகள் புரிந்து கொள்வதற்கு கடினமாக இருக்கலாம், ஆனால் அடிப்படையில்  எளிதானது. அவ்விதிகள் அனைத்தையும் கணிதத்தைக் கொண்டு ஒரு கரும்பலகையில் எழுதிவிடமுடியும் என்கிறார் டெக்மார்க்கு [5]. சமூகம் பல அடுக்குகளை கடந்து உருவாகிய சிக்கலான அமைப்பு.  சிக்கல் அதிகரிக்க அதிகரிக்க,  நம்மால் அதை கணிதத்தின் மூலம் விளக்குவது கடினமாகிறது. ஆனால் கணிதத்தால் முடியாது என்பதல்ல. சமூக அறிவியலால்  இயற்பியல் போன்று உறுதியான முன்னேற்றம் அடையமுடியவில்லை. அதற்கு கணிதம் ஒரு தடங்கலாக இருப்பதுவும் ஒரு காரணமாக இருக்கலாம். ஒரு காலத்தில் உயிரியலில் விலங்குகளின் குணங்கள், செயல்பாடுகளை விளக்குவது கடினமாக இருந்தது.  மேனாடு சுமித்து என்பவர் ஆட்டக்கோட்பாடு (Game theory) என்ற கணிதத்தை உயிரியலில் கொண்டுவந்து பெரிய புரட்சியை உருவாக்கினர் [6].  இன்று ஆட்டக்கோட்பாடு உயிரியலில் முக்கிய பங்கை வகிக்கிறது. இதே ஆட்டக்கோட்பாடு மனிதர்களின் பண்புகளையும் சமூக இயக்கங்களையும் விளக்குவதற்கு பல ஆராய்ச்சிகள் நடந்துள்ளன,  பல கண்டுபிடிப்புகளும் நிகழ்ந்துள்ளன,  ஆராய்ச்சிகள் தொடர்ந்து நடந்து வருகின்றன [7]. ஆட்டக்கோட்பாடுகள் மனிதனின் சமூகச் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் விடைகளைத்தருமா என்பதை பொறுத்திருந்துதான் பார்க்கவேண்டும். ஆனால் பலர் இதன்மேல் பலத்த நம்பிக்கை கொண்டுள்ளனர் [8].

எதுவென்றாலும் சமூக அறிவியலின் முன்னேற்றம் என்பது அது அதன் கணிதப்படுத்தலையும், அது மற்ற அறிவியல் கருத்துக்களை எவ்வாறு இணைத்து  செயல்படுகிறது என்பதைப் பொறுத்தே  அமையும். உதாரணமாக பொருளாதாரம் என்ற பாடப்பிரிவு கணிதத்தை அதிகமாகப் பயன்படுத்துவதால் அது நல்ல முன்னேற்றம் அடைந்துள்ளது. [9]

  1. அறிவியல் மற்றும் கணித  வரலாற்றிலிருந்து நாம்  கற்றுக்கொள்ளவேண்டிய ஒரு ஆழ்ந்து கருத்து என்னவென்றால், சிக்கலான ஒன்றை உருவாக்க எளிய விதிகள் போதுமானது. உதாரணமாக உயிர்களின் பரிணாம வளர்ச்சியை எடுத்துக் கொள்ளலாம். எந்த  ஒரு அறிவாளியின் உதவியும் இல்லாமல் எப்படி அதிசயமான,  சிக்கலான,  சிந்திக்கும் மனிதன் தோன்றினான்?  இதற்கு காரணம் பரிணாமம் (evolution) என்று அனைவரும் அறிந்ததே. அந்த பரிணாமம் என்பது அடிப்படையில் மூன்று எளிய விதிகளைக் கொண்டது: 1. வேறுபாடுகள் (variation) 2. தேர்வு செய்தல் (Selection) 3. இனப்பெருக்கம் (Multiplication)  இந்த மூன்று விதிகளைக் கொண்டு இயற்கையின் குருட்டுத்தனமான செயல்பாட்டின் விளைவில் உருவாகியதுதான் உயிர்கள் [10]. சிக்கலான ஒன்றை எளிய விதிகள் மூலம் குருட்டுத்தனமாக உருவாக்கலாம் என்றால், சிக்கலான பிரச்சினைகளையும் எளிய விதிகளைக் கொண்டு தீர்க்கலாம் [11]. நல்ல தீர்வுகள் அழகாக இருக்கும் என்றும் எடுத்துக்கொள்ளலாம்.
  1. கணிதம் என்பது இளையவர்கள் வெற்றியடையும் போட்டி என்கிறார் ஆர்டி:

“No mathematician should ever allow himself to forget that mathematics, more than any other art or science, is a young man’s game.”  –  G.H. Hardy

  1. பல புகழ்பெற்ற தத்துவமேதைகள் கணிதவியலார்களாக இருந்துள்ளார்கள். உதாரணங்களாக பிளேட்டோ, அரிசுடாட்டில், லைபினிஸ், தேக்கார்டு, இசுபினோசா, ரசல், கொடேல், டூரிங் ஆகியோரை எடுத்துக் கொள்ளலாம்.   நாம் வாழ்வது ஒரு கணித பிரபஞ்சமாக இருப்பதால், கணிதவியலாளர்களுக்கு தத்துவம் என்பது எளிதானதாக இருக்கலாம்.
  2. ஒரு அறிவியலாளர் கண்டுபிடிக்கும் கணித சமன்பாடு, அவரின் கருத்துக்களை மட்டும் கூறுவதல்ல; அந்த சமன்பாட்டுக்குள் அந்த அறிவியலாளர் நினைக்காத மேலதிகமான கருத்துக்கள் இருக்கும். சமன்பாடுகள் அவற்றின் கண்டுபிடிப்பாளரை விட அதி புத்திசாலியானது. அவை மனிதர்களுக்கு அப்பாற்பட்டு தனி ஒரு உலகத்தில் வாழ்கின்ற ஒரு பிரமிப்பை உருவாக்குகிறது. மேலும் இந்த சமன்பாடுகள் புதிய பாதைகளை வகுத்து எதிர்கால ஆராய்ச்சியை தீர்மானிக்கிறது. கணிதம் என்பது மனிதனால் உருவாக்கப்படுவதா அல்லது அவை மனிதனுக்கு அப்பால் இயற்கையிலேயே உள்ளதா என்று தத்துவ அறிஞர்களிடையே விவாதத்தை உருவாக்குகிறது [12].

One cannot escape the feeling that these mathematical formulae have an independent existence and an intelligence of their own, that they are wiser than we are, wiser even than their discoverers, that we get more out of them than we originally put in to them. – Heinrich Hertz

12. கணிதவியலாளர்கள் எது பயன்படும் என்று அறிந்து கணித கண்டுபிடிப்புகள் செய்வதில்லை. எது அவர்களுக்கு ஆர்வத்தைத் தூண்டுகிறதோ, எது அழகாக அவர்கள் பார்வையில் தெரிகிறதோ, அதை நோக்கியே கண்டுபிடிப்பில் ஈடுபடுகின்றனர்.   ஆனால் ஆச்சரியமான விடயம் என்னவென்றால், இவ்வாறு பயனை நோக்கி செய்யாத கணித கணிடுபிடிப்புகள் பிற்காலத்தில்  அறிவியலில் பயன்பட்டு பெரும்  புரட்சியை உருவாக்கி இருக்கிறது.   உதாரணமாக ரீமான் அவர்கள் எந்த பயனையும் கருதாது டென்சார் நுண்கணிதம் (Tensor Calculus) கண்டுபிடித்தார். அதை  அறுபது ஆண்டுகளுக்குப்பின் ஐன்ஸ்டீன் அவர்கள் தனது கோட்பாட்டிற்கு பயன்படுத்தி இயற்பியலில் புரட்சியை உருவாக்கினார்.   இராமானுசனை உலகுக்கு அளித்த கணிதமேதை ஆர்டி  அவர்கள், கணித கண்டுபிடிப்புகள் இவ்வாறு பயனற்று இருப்பதை பெருமையாகக் கருதினார். கணிதம் பயனுள்ளதாக இருந்தால்தான் கண்டுபிடிக்கப்பட வேண்டும் என்ற கருத்தை வெறுத்தார். கணிதத்தையும் அவர் கலையைப் போல அழகுக்காக உருவாக்கப்படவேண்டும்  என்று  பார்த்தார். அவர் தன்னுடைய “பயனற்ற” எண்கணித ஆராய்ச்சியைக் கண்டு பெரிதும்  பூரித்தார். அனால் அவர் மறைந்தபின் அவரின் கணிதம் கணினியில் அதிகமாகப் பயன்பட ஆரம்பித்திருக்கிறது. இன்று அவர்  இருந்திருந்தால் வருந்தினாலும்  வருந்தியிருப்பார்.  கணிதம் அவ்வப்போது பொன்முட்டையிடும் வாத்து. ஆனால் எந்த முட்டை பொன்முட்டை என்பதை காலம்தான் தீர்மானிக்கும் [13].

13. கணித மேதை கேண்டோர் (Cantor), கணிதத்தின் கரு என்பது சுதந்திரம் என்கிறார். இவ்வுலகில் இயங்கும் அனைத்தும் இயற்பியல் விதிகளுக்குக் கட்டுப்பட்டே இயங்குகிறது, ஆனால் கணிதம் இயற்பியலுக்கு அப்பாற்பட்டது. அது இவ்வுலகத்தைப் பற்றியது மட்டுமல்ல, நமது கற்பனைக்கு எட்டிய அனைத்து உலகங்களைப் பற்றியது,  எல்லை இல்லாதது. ஆனால் ஆச்சரியமான விடயம் என்னவென்றால், இவ்வாறு நமது கற்பனையில் உருவாகும் வெவ்வேறு கணிதப் பிரிவுகள் எல்லாம் ஒன்றுடன் ஒன்று தொடர்புள்ளன என்று “இலங்கிலாந்து திட்டம்” (Langland’s program) என்ற திட்டத்தின் கீழ் அனைத்து பிரிவுகளையும்  இணைக்கும் ஆராய்ச்சி நடக்கிறது [14].  இது நாம் தூக்கத்தில் காணும் கனவுக்கு  பலன் கூறுவது மட்டுமில்லாமல், இதுவரை நாம் பார்த்த  கனவுகள் எல்லாம் தொடர்புடையன என்று கூறுவதைப் போல உள்ளது. அதுதான் கணிதத்தில் நடந்து கொண்டிருக்கிறது. நாம் உண்மையில் ஒரு மாயாசால உலகில் வாழ்ந்துவருகிறோம் என்றால் மிகையில்லை.

கணிதம் இவ்வளவு முக்கியத்துவமானதாகவும், அறிவியலுக்கு  அடிப்படையாக இருக்கும் பொழுது, அதற்கு ஏன் நோபல் பரிசு கிடையாது என்ற கேள்வி எழும்.  நீண்டகாலமாக நிலவும் வதந்தி   என்னவென்றால் நோபல் பரிசை உருவாக்கிய  நோபல் அவர்கள் விரும்பிய பெண்ணை ஒரு கணிதமேதை கவர்ந்து கொண்டார். அதனால் அவரின் மேலான வெறுப்பால் கணிதத்தை நோபல் பரிசில்  சேர்க்கவில்லையாம் [4]. எளிதான காரணம் என்னவென்றால் ஆல்பிரடு நோபல் அவர்களது கணிப்பில் கணிதம் உயர்வானதாகக் கருதப்படவில்லை.

உசாத்துணை:

  1. Devlin, Keith. Mathematics: The science of patterns: The search for order in life, mind and the universe. Macmillan, 1996.
  2. Gell-Mann, Murray. The Quark and the Jaguar: Adventures in the Simple and the Complex. Macmillan, 1995.
  3. Dolnick, Edward. The Clockwork Universe: Isaac Newton, Royal Society, and the Birth of the Modern WorldI. Harper Collins, 2011.
  4. Murray Gell-Mann: Beauty and truth in physics, TED Talk, https://www.youtube.com/watch?v=UuRxRGR3VpM&t=22s
  5. Tegmark, Max. Our mathematical universe: My quest for the ultimate nature of reality. Vintage, 2014.
  6. Smith, Maynard. “J.(1982): Evolution and the Theory of Games.” Cambridge: Cambridge (1976).
  7. Nowak, Martin A., ed. Evolution, games, and god. Harvard University Press, 2013.
  8. Siegfried, Tom. A beautiful math: John Nash, game theory, and the modern quest for a code of nature. National Academies Press, 2006.
  9. Wilson, Edward O. Consilience: The unity of knowledge. Vol. 31. Vintage, 1999.
  10. Maynard Smith, John, and Eors Szathmary. “The origins of life: from the birth of life to the origin of language.” (1999).
  11. Bar-Yam, Yaneer. Making things work: solving complex problems in a complex world. Knowledge Industry, 2004.
  12. Wilczek, Frank. “The lightness of being.” Mass, Ether, and the Unification of Forces (2008): 74.
  13. Holt, Jim. “When Einstein Walked with Godel: Excursions to the edge of thought”.
  14. Frenkel, Edward. Love and math: The heart of hidden reality. Hachette UK, 2013.
Advertisements
This entry was posted in அறிவியல், கணிதம், தத்துவம், தமிழ், Uncategorized and tagged . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s